ラグランジアンの拡張
論文[1]は、力学で使われるラグランジアン$L$を、運動エネルギーを$T$とし、ポテンシャルエネルギーを$U$としたとき、
$$L = T - U$$
という従来の形に縛らず、もっと広く自由な形に一般化できることを示した研究である。
ここでは、原論文[1]で導入される一般化ラグランジアンの形を引用する。
$$L = \dfrac{1}{2}P(x(t),t)\left(\dfrac{dx(t)}{dt}\right)^2 + Q(x(t),t)\left(\dfrac{dx(t)}{dt}\right)+R(x(t),t)$$
これは直感的な拡張だろう。$T$は$m(\frac{dx(t)}{dt})^2/2$などと書かれる。これには、(2)の式の右辺の第1項目が当てはまる。ぱっと見ではわかりづらいので、書き並べてみよう。
$$\dfrac{1}{2}P(x(t),t)\left(\dfrac{dx(t)}{dt}\right)^2 \to \dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{dx(t)}{dt}\right)^2$$
対応していることがわかる。
ポテンシャルエネルギー$U$は$mgh$などと書かれる。これには、(2)式の第3項目が当てはまる。こちらも書き並べると
$$R(x(t),t)\to mgh$$
対応していることがわかる。
(2)式は見づらいので、$\dot{x}$を用いた記法にする。ここで、ドットは時間微分を表す。
$$L = \frac{1}{2}P(x(t),t)\dot{x}^2 + Q(x(t),t)\dot{x}+R(x(t),t)$$
この結果は論文[1]で示されている。論文[1]の(2)式に行くためには、やや計算が必要である。ラグランジュの運動方程式
$$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = \dfrac{\partial L}{\partial x}$$
で(5)式を書き下す。(6)式の左辺から行う。ラグランジアンに対して、$\dot{x}$ で偏微分すると
$$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} = P(x(t),t)\dot{x} + Q(x(t),t)$$
これを時間微分する。積の微分を使うと、
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = P_x \dot{x}^2 + P_t \dot{x} + P\ddot{x} + Q_x \dot{x} + Q_t$$
ここで $P_x = \partial P/\partial x$、$P_t = \partial P/\partial t$ などである。（変数を書くのはこのあたりで辞める。）
続いて、(6)式の右辺を計算する。
$$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac12 P_x \dot{x}^2 + Q_x \dot{x} + R_x$$
ラグランジュの運動方程式より、(8)式と(9)式の両辺を等しいとして
$$P\ddot{x}+ P_x \dot{x}^2 + P_t \dot{x} + Q_x \dot{x} + Q_t=\frac12 P_x \dot{x}^2 + Q_x \dot{x} + R_x$$
項を整理すると
$$P\ddot{x}+ \frac12 P_x \dot{x}^2 + P_t \dot{x} + Q_t - R_x = 0 $$
$P$ で割ると、最終的に
$$\ddot{x} + \frac{P_x}{2P}\dot{x}^2 + \frac{P_t}{P}\dot{x} + \frac{Q_t - R_x}{P} = 0 $$
(この結果は論文[1]で示されている。)
[1] Cieśliński & Nikiciuk, "A direct approach to the construction of standard and non-standard Lagrangians for dissipative dynamical systems with variable coefficients", arXiv:0912.5296. https://arxiv.org/abs/0912.5296
（本ページでは、設定・主要結果の一部を引用し、その他は筆者が解説として再構成した。）